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- दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को दो चरों में युगपत रैखिक समीकरणों का एक निकाय बनाने के लिए कहा जाता है।
एक रैखिक समीकरण का सबसे सामान्य रूप है: a1x + b1y + c1=0 और a2x + b2y +c2=0 जहां a1, a2, b1, b2, c1, और c2 वास्तविक संख्याएं हैं और a12 + b12 ≠ 0 और a22 + b22≠0 • एक रैखिक समीकरण का हल मानों का एक युग्म है, एक x के लिए और एक y के लिए। मूल्यों के इस युग्म को क्रमित युग्म कहा जाता है।
• x और y के दो समकालिक समीकरणों के दिए गए सिस्टम में प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करने वाले x और y के मानों की एक जोड़ी को सिस्टम का समाधान कहा जाता है।
• रैखिक समीकरणों के एक युग्म के या तो (a) अद्वितीय हल होंगे या (b) अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे या (c) कोई हल नहीं होगा। - दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का आलेख दो रेखाओं द्वारा निरूपित किया जाता है;
(i) यदि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो समीकरण युग्म संगत होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों का अनूठा हल देता है।
(ii) यदि रेखाएँ संपाती हों, तो अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। समीकरण युग्म संगत है। रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक समाधान होगा।
(iii) यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है। रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।
इस प्रकार, रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के प्रत्येक हल (x, y) के संगत, रेखा पर एक बिंदु मौजूद होता है जो समीकरण ax + by + c = 0 और इसके विपरीत को निरूपित करता है। - यदि रैखिक समीकरण का एक युग्म a1x + b1y + c1=0 और a2x + b2y +c2=0 द्वारा दिया गया है। (I). a1/a2 ≠ b1/b2 => रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है। (अद्वितीय समाधान)। (II). a1/a2 = b1/b2≠c1/c2=> रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है। (कोई हल नहीं)। (III). a1/a2 = b1/b2=c1/c2=> रैखिक समीकरणों की जोड़ी निर्भर और सुसंगत है। (असीम रूप से कई समाधान)।
- दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्मों का बीजगणितीय रूप से हल:
प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाधान:
मान लीजिए समीकरणों का युग्म a₁x + b₁y+c₁ = 0 और a2x + b₂y + c₂ = 0 है
• एक समीकरण से, किसी एक चर को y को दूसरे चर अर्थात X के रूप में व्यक्त करें।
• उपरोक्त चरण में प्राप्त y के मान को दूसरे समीकरण में, x में समीकरण प्राप्त करने पर प्रतिस्थापित करें।
• समीकरण को हल करें और x का मान प्राप्त करें।
• पहले चरण में प्राप्त y के लिए व्यंजक में x का मान रखें और y का मान प्राप्त करें। उन्मूलन विधि द्वारा समाधान, अर्थात गुणांकों की बराबरी करके:
• दिए गए दो समीकरणों में से किसी एक चर के गुणांकों को संख्यात्मक रूप से समान बनाइए। ऐसा करने के लिए, इन गुणांकों को उपयुक्त स्थिरांक से गुणा करें।
• उपरोक्त चरण में प्राप्त समीकरणों को इस प्रकार जोड़ें या घटाएं कि समान गुणांक वाले पद विपरीत या समान चिह्न वाले हों और केवल एक चर में समीकरण प्राप्त करें।
• पाए गए समीकरण को हल करें और किसी एक चर का मान प्राप्त करें।
• इस चर के मान को दिए गए दो समीकरणों में से किसी एक में रखिए और दूसरे चर का मान ज्ञात कीजिए। क्रॉस गुणन विधि द्वारा हल:
मान लीजिए कि समीकरणों का युग्म a1x + b₁y+c₁ = 0 और a2x + b₂y + c₂ = 0 है।
x और y के मान ज्ञात करने के लिए हमारे पास सूत्र हैं:
