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• प्राकृत संख्याएँ: संख्याओं को गिनना प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं। इन संख्याओं को N = {1, 2, 3, ………} से निरूपित किया जाता है।
• पूर्ण संख्याएँ: 0 के साथ प्राकृत संख्याओं का संग्रह पूर्ण संख्या का संग्रह है और इसे W द्वारा दर्शाया जाता है।
• पूर्णांक: प्राकृत संख्याओं का संग्रह, उनकी ऋणात्मक संख्या शून्य के साथ-साथ पूर्णांक कहलाती है। इस संग्रह को Z द्वारा निरूपित किया जाता है।
• परिमेय संख्या: वे संख्याएँ जो दो पूर्णांकों को विभाजित करने पर प्राप्त होती हैं, परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है।
• सहअभाज्य: यदि दो संख्याओं का HCF 1 है, तो दो संख्याओं का क्षेत्रफल अपेक्षाकृत अभाज्य या सह अभाज्य कहलाता है।
- यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका:
दिए गए धनात्मक पूर्णांकों ‘a’ और ‘b’ के लिए अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ ‘q’ और ‘r’ मौजूद हैं जो संबंध a = bq + r, 0 <r <b को संतुष्ट करती हैं। प्रमेय: यदि a और b गैर-शून्य पूर्णांक हैं, तो कम से कम सकारात्मक पूर्णांक जो a और b के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, a और b का एचसीएफ है, यानी, यदि d, a और b का HCF है, तो ये मौजूद हैं पूर्णांक x₁ और y₁, जैसे कि d = ax₁ +by₁ और d सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
a और b के HCF को HCF (a, b) द्वारा दर्शाया जाता है। - यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम :
a > b के साथ किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का HCF निम्नानुसार प्राप्त होता है:
चरण 1: q और r ज्ञात करने के लिए a और b पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका इस प्रकार लगाइए कि
ए = बीक्यू + आर, 0 <आर <बी।
बी = भाजक
क्यू = भागफल
आर = शेष
चरण II: यदि r = 0, HCF (a,b)=b यदि r = 0 है, तो यूक्लिड प्रमेयिका को b और r पर लागू करें।
चरण III: प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक शेष शून्य न हो जाए। इस स्तर पर भाजक अभीष्ट HCF होगा। - अंकगणित की मौलिक प्रमेय: प्रत्येक मिश्रित संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और यह गुणनखंड अद्वितीय है, इसके अलावा जिस क्रम में अभाज्य गुणनखंड होते हैं।
उदाहरण: 24=2x2x2x3=3×2×2×2 - मान लीजिए x =p/q , q‡0 एक परिमेय संख्या है, जैसे कि ‘q’ का अभाज्य गुणनखंड 2m+5n के रूप का है, जहाँ m, n ऋणेतर पूर्णांक हैं। तब x का दशमलव प्रसार सांत है।
- मान लीजिए x =p/q , q‡0 एक परिमेय संख्या है, जैसे कि q का अभाज्य गुणनखंड 2m+5n के रूप का नहीं है, जहाँ m, n ऋणेतर पूर्णांक हैं। तब x का एक दशमलव प्रसार होता है जो असांत आवर्ती होता है।
- p अपरिमेय है, जो एक p अभाज्य है। एक संख्या अपरिमेय कहलाती है यदि इसे उस रूप में नहीं लिखा जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q 0 है।
- यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं, तो HCF(a, b) x LCM(a, b) = axb
यानी, (HCF x LCM) दो इंटरजर्स का = a और b का गुणन - एक परिमेय संख्या जिसे सबसे कम पद में व्यक्त करने पर हर में 2 या 5 के गुणनखंड हों, को सांत दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है अन्यथा एक असांत आवर्ती दशमलव। दूसरे शब्दों में, यदि परिमेय संख्या इस प्रकार है कि b का अभाज्य गुणनखंड 2.5″ के रूप का है, जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ हैं, तो इसका सांत दशमलव प्रसार होता है।
- हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रत्येक परिमेय संख्या को सांत या असांत आवर्ती दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है।